【Q&A in MRI】5.1.5 Location of Spatial Frequencies 空间频率的位置

一切权利归原作者所有。

原著：Allen D. Elster, MD

译注：蒋强盛

Exactly where are the spatial frequencies are located in k-space? 空间频率在 k 空间中是如何分布的？

一句话总结 k 空间频率特征：k 空间中心包含低频空间频率信息，决定了图像的对比、亮度和大体形状；k 空间周边包含高频空间频率信息，决定了图像的边缘、细节和图像对比变化剧烈的地方。

k 空间的单元通常用矩形网格表示，其中有两个主轴 kx 和 ky. kx 和 ky 轴分别对应于图像的水平轴 (x-) 和垂直轴 (y-)。然而，k 空间中的两个轴代表的是图像 x- 和 y- 方向的空间频率，而不是位置。k 空间中的每一个点 (kx,ky) 与图像中的点并不是一一对应的。k 空间中的每一个点包含了图像中所有点的空间频率与相位信息。同样相反地，图像中的每一个点映射到 k 空间中的所有点。

Points along the kx-axis represent frequency components along the x-direction of the image. Conversely, points along the ky-axis reflect frequency components along the y-direction of the image. The k-space image of a square block whose sides are aligned with the x- and y-axes would look like the image below.

k 空间中沿着 kx-轴方向的点代表图像中沿着 x-方向的频率分量；同样，沿着 ky-轴方向的数据代表图像中沿着 y-方向的频率分量。（黑色背景）白色方块（方块的四边沿着 x- 与 y-轴方向）的 k 空间图像如下图所示：

Image of a block

Correseponding k-space representation

如果将方块旋转 45°，那么方块边缘主要的空间频率将也将旋转 45° 方向：

Image of rotated block

Corresponding rotation of k-space frequencies

关于更多的关于不同形状原图形的 k 空间表现，请参照如下链接：

%%%%%%%%%%%%%%%

Real images will, of course, have frequency components in all directions, resulting in a "galaxy"-like appearance of k-space. A bright "star" at a particular location in k-space implies that the spatial frequencies that point represents are making a positive contribution to final image.

当然，实际的图像在所有方向都有频率分量；正因如此才导致了图像的 k 空间看起来是类似“星系”的表现。k 空间中某点明亮的“恒星”意味着这点所代表的空间频率将会对图像做出一积极贡献。

Movie showing spatial frequencies corresponding to various points in k-space. (Courtesy Brian Hargreaves)

%%%%%%%%%%%%%%%

【译者注2】

在之前的推文【Q&A in MRI】5.1.4 Spatial Frequencies 空间频率 中说到，任何二维图像都可以分解成各个方向不同幅度不同频率不同相位的平面简谐波叠加而成，即由不同的空间频率而组成。而在图像上的视觉表现就是不同空间频率代表不同的明暗条纹。从上图中可以直接体会。而且给出了条纹出现的方向与 k 空间中频率点位置的关系，同时指出明暗条纹的亮条纹的亮度与 k 空间数据点的强度相关。

As a final note, the physical size of the object imaged and its frequency expanse in k-space are inversely related. In other words, small objects (like the small white circle) have ripples far out into the periphery of k-space, while larger objects have their spectral energies more concentrated at the center. 

Inverse relation between size of object (left) and extent of k-space representation (right)

As the object grows larger only a few low spatial frequencies in each direction are required to represent it. At the extreme limit (the object fills the entire field-of-view) only a constant Fourier term is needed. For very large objects the k-space representation collapses to just a single data point at (kx, ky) = (0,0) whose value reflects the average brightness of the image.

随着被成像物体越来越大，每个方向仅需少量的低频数据就可以表达。考虑极限情况，当被成像物体完全填充整个视野，那么仅需要一个傅立叶常数项就可以了。对于十分大的物体，k 空间表现为单个数据点 (kx, ky) = (0,0)，表征着图像的平均亮度。

%%%%%%%%%%%%%%%

【译者注3】

之前我制作了许多图形的 k 空间表现，见 【MR技术】傅立叶变换 k 空间图集（1），今天我们看看纯白或纯黑的图像的 k 空间表现是否如上文所说。

完全符合！

如果我们用仅一个点形式的方块图像，看看它的 k 空间表现：

打赏