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彭罗斯：不思考生物化学的诺贝尔物理学奖得主不是好的数学家

2020

10/12

学术头条

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彭罗斯镶嵌是这样的数学：它由诺贝尔物理学奖得主发现，又跟诺贝尔化学奖工作密切相关。

2020年诺贝尔物理学奖被授予罗杰·彭罗斯(Roger Penrose)，莱因哈特·根策尔(Reinhard Genzel)，和安德里亚·格兹(Andrea Ghez)，奖励他们三人在黑洞研究方面作出的杰出贡献。

三位获奖者中年纪最大的罗杰·彭罗斯爵士出生于1931年，是一位英国数学家、物理学家和科普作家。他的原始获奖工作是一篇只有三页的数学论文，用广义相对论推导出了黑洞的存在。这是诺贝尔物理学奖第一次颁发给一个纯数学工作。彭罗斯是物理学家霍金的好友，他俩后来合作把彭罗斯的工作推广到宇宙学领域，证明了大爆炸一定始于一个奇点。

霍金与彭罗斯

彭罗斯的研究兴趣非常广泛，既有艰深的数学和物理，又有面向大众的趣味数学。他年轻时就跟他的父亲(一位精神病学家和遗传学家)一起设计了不可能在现实空间中实现的彭罗斯三角。

彭罗斯三角

彭罗斯三角可以利用视觉错觉来“实现”。比如下图中位于澳大利亚珀斯的这个雕塑，从特定方向看就是彭罗斯三角。

视觉错觉效果动图

奥地利的一个彭罗斯三角

这个比利时的彭罗斯三角采用了另外一种错觉设计：看起来像是直的，实际是弯的。

彭罗斯父子还创造了不可能实现的彭罗斯阶梯。

彭罗斯阶梯

彭罗斯阶梯是荷兰版画大师埃舍尔作品《上升与下降》的主题。

在电影《盗梦空间》里友情出演

彭罗斯最著名的趣味数学发现当属彭罗斯镶嵌(Penrose tiling)。这里说的镶嵌就是用地板砖无缝铺满平面。我们最常见的地板砖是方形的，因为用同样大小的方形很容易铺满平面。我们也可以用同样形状和大小的三角形来铺满平面。

用香瓜🐯的玩具拼出来的图

任意形状的三角形都可以铺满平面

任意形状的四边形都可以铺满平面

甚至这种奇形怪状的也能

有了三角形和四边形，下一个形状就是五边形。然而，同样形状和大小的五边形不能拿来铺满平面。无论怎么铺，总会有缝隙。

下一个是正六边形，可以铺满平面。勤劳的小蜜蜂搭建的蜂巢就是这种形状。

前面几种铺满平面的方式都是周期性的，意思就是可以把所有地板砖朝某个方向平行移动一段距离，得到的铺法跟原来的还是分毫不差。比如方形的铺法，可以沿水平方向平移一个方格边长的距离，也可以沿竖直方向平移同样的距离，得到的铺法跟原来的一样。

彭罗斯在上世纪七十年代发现了彭罗斯镶嵌。这里的地板砖是两种不同形状但具有同样边长的菱形。一个菱形的四个角的角度分别是36°,144°,36°,144°，另外一个菱形的四个角度分别是72°,108°,72°,108°.

用这两种菱形可以造出无数个非周期性的铺法，比如下图。

令人惊异的是，尽管上图里的彭罗斯镶嵌不具有周期性，它仍然有五重对称性。也就是说，把这个图形绕某个中心点旋转72°（360°的五分之一），还是得到原来的图形。前面讲到的用三角形、四边形和正六边形铺满平面的方式都不具有五重对称性。

彭罗斯镶嵌的另外一种形式是使用以下两种“风筝”和“飞镖”形状的地板砖。

彭罗斯镶嵌的拼图积木

彭罗斯镶嵌还有许多奇妙的性质，跟一些深刻的数学理论有关。数学科普作家马丁·加德纳(Martin Gardner)曾写过多篇文章介绍彭罗斯镶嵌。

加德纳著作封面

彭罗斯镶嵌出现在很多设计中，像下面这张照片里彭罗斯爷爷脚下的地板。

彭罗斯工作的牛津大学数学研究所

牛津大学数学研究所出品的杯子

旧金山跨湾换乘枢纽的外墙

真的有这种洗手间瓷砖

还有这种

彭罗斯镶嵌不仅仅是数学家的玩具，它还跟化学里的一个重大发现有着密切联系。我们知道，很多物质都是由原子组成。有一类叫作“晶体”的固体，其中的原子排列非常有规律，具有类似前面所说的周期性。

在冰的晶体结构里，我们可以看到六边形铺满平面的方式。每个六边形的顶点处是一个氧原子。

在食盐的晶体结构里，我们可以看到正方形铺满平面的方式，每个正方形的顶点处是一个氯原子或钠原子。

彭罗斯意识到，彭罗斯镶嵌可能也对应于某种物质的原子排列。他在1976年的一封信中写道：“这些事很有可能在生物学上具有某种重要性。你会记得某些病毒呈正十二面体和正二十面体，它们如何做到这一点的，似乎总是令人迷惑不解。不过假如以安曼的非周期性六面体为基本单位，那么我们就会得到一些准周期性‘晶体’，其中就包含此类看似不可能存在的、沿着十二面体或者二十面体各平面的(晶体学上的)解理方向。病毒是否有可能会以某种类似这样的包含非周期性基本单位的方式生长——还是说这种想法太异想天开了?”

腺病毒的结构是正二十面体，每个顶点处有五个小三角形

上世纪八十年代初，以色列化学家丹·谢赫特曼(Dan Shechtman)发现了一种新的固体材料，其原子排列不具有周期性，但却有着十重对称性。这跟彭罗斯镶嵌非常相似，然而谢赫特曼当时并不知道彭罗斯镶嵌，在别人的帮助下才弄清了其中的数学。这种物质被命名为“准晶”(quasicrystal)。后来人们又发现了具有其它种类对称性的准晶，包括五重、八重、十二重等在晶体里不可能出现的对称性。